Підтримайте розвиток сайта

Лема Харукі

    Ця справді красива лема була вперше доведена Професором Хіроші Харукі. За її допомогою можна досить легко довести Теорему Метелика а Теорему Двох Метеликів. Ви можете переглянути ці теореми на сайті Олександра Богомольного.

Лема ( Харукі )    АВ і CD - дві хорди кола, які не перетинаються, а точка Р - довільна точка тої дуги АВ, яка не містить точок C і D. Точки E і F є точками перетину хорд РС  і АВ, PD  і АВ відповідно. Тоді значення дробу
AE · BF / EF  не залежить від положення точки Р на дузі АВ.

    Ця задача винирнула з небуття у 2006-му році під час Тренувальних Зборів команди Закарпаття по підготовці до Всеукраїнської Олімпіади з математики. Перше моє доведення цієї леми було повне страшної тригонометрії. Друге доведення я провів за допомогою комплексних чисел, але воно виявилося надзвичайно довгим. Хоча, варто зауважити, що це доведення дало мені необхідну підказку, яку я використав у чисто геометричному доведенні, яке частково базувалося на оригінальному доведенні цієї леми самим Хіроші Харукі. Це доведення виявилося простим, не містило страшної тригонометрії або довгих обчислень за допомогою комплексних чисел.
    Наступним кроком стала необхідність знайти загальне алгебраїчне доведення. Для цього я використав трилінійні координати, але це не стало кінцем історії. По рекомендації головного редактора журналу, мені прийшлося переробити доведення за допомогою барицентричних координат. Ось такий непростий шлях пройшла моя стаття. Ви можете подивитися на остаточний результат ось тут: Haruki's Lemma and a Related Locus Problem.

    Один з моїх результатів показує, що насправді значення дробу AE · BF / EF дорівнює ..... наведіть мишку сюди для того, щоб побачити відповідь. Цікаво, правда? Ще цікавішим є той факт, що ця рівність справджується навіть коли хорди АВ і CD перетинаються і точка Р є довільною точкою кола, відмінною від А і В.

    Якщо Вас це зацікавило, тоді прочитайте мою статтю ось тут: Haruki's Lemma and a Related Locus Problem.

    Виявляється, що результати описані в цій статті можна продовжити до кривих другого порядку - не вироджених конік. Ви можете прочитати цю статтю ось тут: "Haruki's Lemma for Conics"

На початок

Головна   Про мене   Математика   Інтереси   Моє резюме   Друзі   Контакти   Карта сайту
© 2007 Безверхнєв Ярослав, Agarwaen
Останній апдейт:     7-е Квітня, 2008